Tu es sur le point de maîtriser une compétence cruciale pour ton bac : la résolution des équations du second degré.
Ne t'inquiète pas, je vais te guider pas à pas, et bientôt, tu jongleras avec les racines carrées comme un pro !
Prêt à vous plonger dans le monde des équations du second degré?
C'est parti pour un voyage mathématique passionnant ! 🚀
Chaque équation du second degré a la forme \(ax^2+bx+c=0\) , où \(a\), \(b\), et \(c\) sont des nombres réels et \( a\ne 0\) car sinon on perd la partie au carré et donc ce n'est plus du second degré.
Notre mission est de trouver les valeurs de \(x\) qui satisfont cette équation (autrement dit, quelles sont les valeurs par lesquelles on peut remplacer \(x\) pour que l'égalité de départ reste vraie).
On va prendre un exemple que l'on étudiera au fur et à mesure du tuto:
Résoudre \( 4x^2 -5x = -1\).
On est bien sur une équation du second degré car on un terme en \(x^2\), un terme en \(x\) (qui n'est pas nécessaire) et un terme sans \(x\) (qui n'est pas nécessaire non plus pour être du second degré).
La première chose à faire lorsqu'on repère une équation du second degré est de regrouper tous les termes du même côté pour faire apparaître 0 d'un côté.
Ainsi \( 4x^2 -5x = -1\) va devenir \( 4x^2 -5x +1 = 0\) et ainsi on obtient une équation du second degré sous forme parfaite pour la suite du tuto!
Pour finir cette étape, on va identifier les valeur de \(a\), \(b\), et \(c\).
\(a\) est la quantité de \(x^2\), on a donc \(a = 4\).
\(b\) est la quantité de \(x\), on a donc \(b = -5\).
\(c\) est la quantité de sans \(x\), on a donc \(c = 1\).
Calculez le discriminant \( \Delta = b^2-4ac \) (d'où l'importance d'identifier les valeurs de \(a\), \(b\), et \(c\) )
\( \quad\) Si \(\Delta > 0\) , il y a deux solutions réelles distinctes.
\( \quad\) Si \(\Delta = 0\) , il y a une seule solution réelle.
\( \quad\)Si \(\Delta < 0\) , il n'y a pas de solution réelle.
Reprenons notre exemple, on avait dit que \(a = 4\), \(b = -5\) et \(c = 1\).
Ainsi, on va avoir le discriminant \( \Delta = (-5)^2-4(4)(1)=25-16=9 \) donc on rentre dans le premier cas où l'on a deux racines réelles.
Si \(\Delta > 0\) , il y a deux solutions réelles distinctes notée \(x_1\) et \(x_2\):
\( \quad\) \(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\( \quad\) \(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Si \(\Delta = 0\) , il y a une seule solution réelle notée \( x_0\).
\( \quad\) \(x_0=\frac{-b}{2a}\)
Si \(\Delta < 0\) , il n'y a pas de solution réelle.
Reprenons notre exemple, on avait dit que \( \Delta = 9\), donc on a deux racines réelles \(x_1\) et \(x_2\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2\cdot 4}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4} \)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2\cdot 4}=\frac{8}{8}=1 \)
En fait, on a déjà résolu l'équation de départ.
Il suffit maintenant de mettre une phrase de conclusion en disant que les solutions de l'équation de départ sont \(\frac{1}{4}\) et \(1\) dans notre exemple.
Mais laisse moi encore comment interpréter ces deux valeurs.
En fait, quand on dit qu'on trouve une solution d'une équation, cela signifie que si on remplace \(x\) dans l'équation de départ par une de nos solutions, l'égalité reste vraie.
On va le faire pour notre première solution (que l'on appelle aussi racine dans le cas d'un polynôme du second degré) \(x = \frac{1}{4}\) pour que tu comprenne bien:
Au départ, notre équation était \( 4x^2 -5x = -1\).
Voyons ce qui se passe en remplace les \(x\) par \(\frac{1}{4}\):
\( 4(\frac{1}{4})^2 -5(\frac{1}{4}) = 4\frac{1}{16} -\frac{5}{4}=\frac{4}{16} -(\frac{5}{4})=\frac{1}{4} -\frac{5}{4}=-\frac{4}{4}=-1\)
Donc on retrouve bien notré équation de départ ce qui permet de valider notre résultat et donc dire que \(x = \frac{1}{4}\) est bien une solution de notre équation.
Je te laisserai vérifier pour \(x = 1\), l'autre solution que l'on a obtenue.
Et c'est pas fini, je vais te montrer graphiquement à quoi ça correspond graphiquement. Une racine correspond à un point d'intersection avec l'axe des abscisses (axe horizontal).
J'ai représenté le polynômé \( 4x^2-5x+1\), le polynôme que l'on a obtenu en regroupant tout le monde du même côté pour faire apparaître le 0 de l'autre côté.
Regarde bien lex points d'intersection avec l'axe des abscisses: on retrouve nos deux solutions \(x=\frac{1}{4}\) et \(x=1\), voilà à quoi correspondent les racines (ou solutions) d'un polynôme (et d'une fonction quelconque en général).
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