Pour rappel, le loto est un jeu dans lequel le but est de cocher les 5 bons numéros (sans répétition) sur les 49 possibles.
En plus, il faut aussi réussir à trouver le bon numéro chance sur les 10 possibles.
Si tous les numéros sont trouvés, le jackpot est de plusieurs millions d'euros pour un coût de seulement 5€ pour une grille.
Ca fait rêver mais maintenant, voyons, grâce aux Maths, que tes chances de remporter le jackpot sont quasiment nulles
On va tout d'abord s'intéresser à la sélection de 5 numéros sur les 49 possibles.
On se demande combien de possibilités différentes on a de faire cette sélection.
Et c'est ici qu'interviennent les Maths.
Lorsqu'on fait du dénombrement, il faut distinguer deux aspects: les arrangements et les combinaisons.
Dans un arrangement d'éléments, l'ordre de sélection des éléments est importants, c'est à dire que, dans le cas du loto, sélectionner le 6 puis le 4 ne serait pas la même chose que de sélectionner le 4 puis le 6.
On se rend bien compte que cela n'a pas de sens dans le cas du loto.
L'ordre dans lequel on sélectionne les numéros n'est pas important donc on va utiliser les combinaisons.
Une combinaison à k éléments dans un ensemble à n éléments consiste à prendre k éléments sans répétitions (5 numéros dans notre cas) sur les n éléments (les 49 numéros dans notre cas) disponibles.
Le nombre de combinaisons à k éléments parmis n éléments est donné par le coefficient binomial:
\( \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)
\( n! \) est appelé factorielle n et son calcul est \( n!=n\cdot (n-1) \cdot (n-2)\cdot ... \cdot 2 \cdot 1 \)
Dans notre cas, on doit sélectionner 5 numéros sur les 49, donc le nombre de possibilités de faire cela est \( \binom{49}{5}=\frac{49!}{5!(49-5)!}\).
A l'aide de la calculatrice, on trouve 1 906 884 possibilités.
Ca fait beaucoup de possibilités et c'est pas fini...
Maintenant, intéressons nous au numéro chance. Ca va être un peu plus simple puisqu'on a 10 numéros et on doit en choisir 1. Il est évident que l'on a 10 possibilités différentes de faire cela mais pour en être convaincu, reprenons le calcul précédent.
On doit sélectionner 1 numéro sur les 10 donc on va avoir \( \binom{10}{1}=\frac{10!}{1!(10-1)!}=10\) possibilités.
Donc finalement, pour chacune des 1 906 884 grilles de 5 numéros, on a 10 possibilités de choisir le numéro chance.
Ainsi, on a finalement 19 068 840 possibilités de choisir 5 numéros sur les 49 et 1 numéro chance sur les 10.
Et puisqu'il n'y a qu'une seule grille qui permet de gagner le jackpot, on a donc 1 chance sur 19 068 840 de gagner le jackpot c'est à dire pas beaucoup...
"S'il est quelque joueur qui vive de son gain, on en voit tous les jours mille mourir de faim."
Jean-François Regnard, Poète comique français
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