Avant de faire quoi que ce soit, rappelons ce qu'est un cercle car on le confond souvent avec le disque.
Un cercle de rayon R et de centre A est l'ensemble des points situés à une distance R du centre, autrement dit c'est le tour.
Un disque est l'ensemble des points situés à une distance inférieure à R du centre du centre c'est à dire l'intérieur du cercle.
L'équation d'un cercle nous offre de nombreuses informations telles que les coordonnées du centre du cercle ainsi que le rayon du cercle.
De plus, c'est grâce à son équation que nous serons en mesure de le tracer (à la main ou via un ordinateur).
L'équation d'un cercle nous offre aussi la possibilité de savoir si un point appartient ou non au cercle.
On pourra aussi réussir à déterminer les coordonnées des points d'intersection entre deux cercle par exemple ou encore entre un cercle et une droite.
Plus généralement, la connaissance de l'équation d'un cercle trouve des applications dans divers domaines pratiques, tels que la construction, l'ingénierie, la conception de circuits, la cartographie, la robotique et bien d'autres encore.
Par exemple, dans l'ingénierie du génie civil, les équations de cercles sont utilisées pour concevoir des courbes de routes ou des ronds-points.
L'équation d'un cercle peut se présenter sous deux formes:
La première, et c'est clairement la plus intéressante, est sous la forme
\( (x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = R^2 \) où \( (x_A;y_A) \) sont les coordonnées du centre du centre et \(R\) est le rayon du cercle.
Cette forme est la plus intéressant car, en un coup d'oeil, on peut facilement donner les coordonnées du centre du cercle et aussi connaître son rayon.
Une autre forme est tout simplement la forme développée c'est à dire la forme précédente mais de manière totalement développée.
Cette équation sera \( x^2+y^2+ax+by+c=0 \).
Le problème de cette forme est qu'il est impossible, en un coup d'oeil, de savoir si c'est bien l'équation d'un cercle car il faut vérifier que le rayon est bien positif.
Pour cela, il faut réussir à passer de cette forme à la première que l'on a vue et bien vérifier que l'on obtient un rayon positif sinon ce n'est pas l'équation d'un cercle.
Pour revenir à la première, il faut regrouper les termes en \(x\) puis regrouper ceux en \(y\) et réussir à factoriser chacune en repérant une identité remarquable \( (a+b)^2\) ou \( (a-b)^2 \).
L'équation \( x^2 + 2x +y^2 - 6y +8=0\) est-elle l'équation d'un cercle?
On remarque que pour les \(x\) on a le début de l'identité remarquable \( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \) où \( a\) sera donc notre \( x^2\) donc on aura \(a=x\).
Du fait que le terme du milieu soit \(2ab\), on va simplement diviser le terme en \(x\) par 2 pour avoir le \(b\) ce qui nous donnera donc \(b=\frac{2}{2}=1\).
Et là, il faut faire attention car pour compléter l'identité remarquable, il nous manque le \(b^2\) donc on va l'ajouter et le retirer.
On va donc écrire \( x^2+2x=x^2+2x+1^2-1^2=(x+1)^2-1\) et ainsi on a factoriser la partie des \(x\).
De la même façon, on va trouver que \(y^2-6y=y^2-6y+3^2-3^2=(y-3)^2-9\).
Ainsi, notre équation de départ \( x^2 + 2x +y^2 - 6y +8=0\) va devenir \( (x+1)^2-1 +(y-3)^2-9 +8=0\) c'est à dire \((x+1)^2 +(y-3)^2=2\).
On peut désormais dire que c'était bien l'équation d'un cercle puisqu'on obtient \( R^2=2\) donc positif.
On peut aussi donner les caractéristiques du cercle:
On a \(R^2=2\) donc en prenant la racine carrée, on va trouver que la rayon du cercle vaut \(R=\sqrt{2}\).
On peut aussi dire que le centre du cercle a pour coordonnées \( (-1;3)\) (les valeurs dans la factorisation du x et du y en changeant leur signe).
Je n'en ai pas parlé mais avant tout calcul, il faut commencer par transformer l'équation pour n'avoir que \(x^2\) et \(y^2\) et non \(3x^2\) et \(3y^2\) par exemple. Cela permet aussi de dire que lorsqu'on n'a pas autant de \(x^2\) que de \(y^2\), ce ne peut pas être l'équation d'un cercle.
Déterminer l'équation du cercle de centre \( C(1;3) \) passant par le point \( B(7;20) \).
Voici la correction
“Les mathématiques sont une belle voie vers la vérité, mais nous devons être prêts à accepter que nous pourrions ne jamais y arriver complètement.”
Marcus du Sautoy, professeur de Maths à l'université d'Oxford
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