Avant de voir comment résoudre une équation différentielle, essayons de comprendre ce que c'est et à quoi ça sert.
Globalement ce sont des équations dans lesquelles on a à la fois une fonction, sa dérivée et, éventuellement, sa dérivée seconde qui interviennent simultannément.
Prenons un cas concret pour en saisir l'intérêt.
Imaginons un groupe de pinguoins sur la banquise.
C'est évident que l'évolution du nombre de pinguoins ne va pas être linéaire.
Essayer de décrire l'évolution de ce groupe aboutira à une équation différentielle.
Plus il y a de pinguoins, plus il y a de bébés.
Ensuite, ces bébés vont grandir et auront eux aussi des bébés pinguoins.
On note \(N\) la population de pinguoin à tout instant \(t\).
On note aussi \(r\) le taux de croissance de la population de pingouins.
Et pour terminer, on note \( \frac{dN}{dt}\) le taux de changement de la population (c'est à dire la vitesse de croissance de la population dans le temps).
En remarquant que \(N\) est une fonction qui dépend du temps (le nombre de pingouin fluctue au cours du temps), on pourrais donc noter \( \frac{dN}{dt}\) comme \(N'(t)\). Et pour les plus aguerris en physique, vous devriez savoir que la dérivée de la position (taille d'une popualtion à un instant) représente la vitesse (donc la vitesse d'évolution de la popualtion ici).
Pour l'exemple, imaginons que l'on ai un taux de croisance \(r=0.05\) nouveau pingouin par semaine, ce qui signifie que pour un pinguouin que chaque pingouin "produit" 0.05 nouveaux individus chaque semaine.
Par exemple, lorsque le nombre de pinguoins atteint 1000, le taux de changement \( \frac{dN}{dt}\) est donc de \(1000\cdot 0.05=50\) nouveaux pingouins par semaine.
Mais cela n’est vrai qu’à un moment précis et n’inclut pas le fait que la population augmente constamment.
Plus la population est grande, plus nous avons de nouveaux pingouins !
Quand la population est de 2000 on obtient \(2000\cdot 0.05=100\) nouveaux pingouins par semaine, etc.
Il est donc préférable de dire que le taux de changement (à tout instant) est le taux de croissance multiplié par la population à cet instant:
\( \frac{dN}{dt}=r\cdot N\).
Et ainsi, on obtient une équation différentielle puisqu'elle lie une fonction \(N(t)\) et sa dérivée \( \frac{dN}{dt}\).
Les équations différentielles peuvent décrire comment les populations changent, comment la chaleur se déplace, comment les sources vibrent, comment les matières radioactives se désintègrent et bien plus encore. Elles constituent une manière très naturelle de décrire de nombreuses choses dans l’univers.
Déjà, il faut identifier à quel type d'équation on a à faire.
Il y a les équations différentielle du premier ordre ( il n'y a la présence que de la fonction et sa dérivée), du second ordre ( on retrouve la fonction, sa dérivée et sa dérivée seconde), mais on peut décliner ce processus à l'infini.
Au lycée, vous ne verrez que les équations de premier ordre, à coefficients constants (les quantité de la fonction et sa dérivée sont des réels).
Ensuite, dans les équation de premier ordre, on retrouve 3 types d'équations différents:
Les équations sans second membre \( y'+ay=0\) avec \(y\) la fonction à déterminer et \(a\) un réel.
On dit que c'est une équation différentielle de premier ordre sans second membre, à coefficients constants.
Les équations avec second membre constant \( y'+ay=b\) avec \(y\) la fonction à déterminer et \(a\) et \(b\) des réels.
On dit que c'est une équation différentielle de premier ordre avec second membre, à coefficients constants.
Les équations avec second membre non constant \( y'+ay=f\) avec \(y\) la fonction à déterminer et \(a\) est un réel et \(f\) une fonction réels.
On dit que c'est une équation différentielle de premier ordre avec second membre non constant, à coefficients constants.
Imaginons que l'on doive résoudre l'équation \( y'+4y=0\).
C'est donc une équation différentielle d'ordre 1 sans second membre (du type \(y'+ay=0\)).
Pour résoudre ce type d'équation, on va simplement appliquer la formule qui nous dit que l'ensemble des solutions de cette équation sont \(y(x)=C\cdot e^{-ax}\) donc, ici, cela donnera \(y(x)=C\cdot e^{-4x}\) avec \(C\) un réel qui peut être demandé de déterminer grâce à une condition initiale donnée par l'énoncé.
Globalement, pour les équations du type \(y'+ay=0\) et \(y'+ay=b\), il suffit d'appliquer les formules.
Pour le cas \(y'+ay=f\), il y a plus de travail car pas de formule magique tout prête.
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