Normalement, tu sais déjà dériver une fonction et surtout tu sais à quoi ça sert!
Bon aller, au cas où, je te le rappelle.
Lorsqu'on a une fonction et que l'on souhaite étudier ses variations (savoir où elle monte et où elle descend), on va d'abord calculer sa fonction dérivée.
Ensuite on va étudier le signe de la dérivée, donc déterminer les endroits où elle est positive et ceux où elle est négative.
Et finalement, on pourra donner les variations de la fonction de départ car là où la dérivée est négative, la fonction descend et là où la dérivée est positive, la fonction monte.
Et là, tu vas me dire, quel est le lien avec la convexité?
Cela va nous permettre d'avoir plus d'informations sur la forme de la fonction. Imaginons que la fonction soit croissante. Elle a deux options pour montrer, soit en faisant un "U" (courbe verte), soit plutôt en étant courbée dans l'autre sens en faisant un "\( \cap \)" (courbe rouge). C'est ce qu'on appelle la convexité de la fonction.
Je t'ai parlé de forme en "U" ou de forme en "\( \cap \)".
En fait, partout où la fonction a une forme de "U", on dit que la fonction est convexe à ces endroits là.
Et partout où la fonction a une forme de "\( \cap \)", on dit que la fonction est concave à ces endroits là.
Et encore mieux, lorsque la fonction passe de concave à convexe ou de convexe à concave, on dit que c'est un point d'inflexion.
Voilà, graphiquement, tu sais tout.
Maintenant, on va s'entraîner un peu en prenant le graphe de la fonction \( f \) ci dessous:
On se rend compte que la fonction semble avoir une forme de "\( \cap \)" jusqu'à 0 ( sur l'axe horizontal) donc la fonction est concave sur l'intervalle \( ]-\infty ; 0] \) . Ensuite, après la passage au point de coordonnées (0;2); la fonction semble prendre la forme d'un "U" donc est convexe à partir de 0 donc sur l'intervalle \( ]0;+\infty [ \).
De plus, comme la fonction change de convexité en 0, on dit que 0 est un point d'inflexion de la fonction.
Maintenant parlons vrai, on va calculer!
Pour déterminer la convexité d'une fonction, on a besoin uniquement de connaître le signe de sa dérivée seconde ( la dérivée de la dérivée).
On va prendre un exemple pour que ce soit plus clair:
Prenons la fonction \( f \) définie sur R par \( f(x)=x^3-x^2 \).
On veux calculer sa dérivée seconde, on va donc commencer par calculer la dérivée première:
\( f'(x)=3x^2 -2x\).
Puis on va dérivée cette dérivée pour obtenir la dérivée seconde:
\( f''(x)=6x-2 \).
Maintenant qu'on a la dérivée seconde de la fonction \(f\), on va avoir besoin de son signe.
On peut se demander à quand cette dérivée seconde est positive et donc, par élimination, là où elle n'est pas positive, elle est négative.
On a donc \( f''(x) > 0 \Leftrightarrow 6x-2 > 0 \Leftrightarrow 6x > 2 \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\).
Donc on vient de trouver que la dérivée seconde est positive lorsque x est supérieur à \( \frac{1}{3} \) c'est à dire que la fonction \(f\) est convexe sur \( [\frac{1}{3};+\infty [\) donc en forme de "U".
On peut donc en déduire qu'elle est concave sur \( ]-\infty ; \frac{1}{3}[\) donc en forme de "\( \cap \)".
Et comme on change de convexité en \(\frac{1}{3}\), ce point là est un point d'inflexion.
Voici le graphique de cette fonction ci-dessous, où on peut vérifier ces résultats!
Je t'ai concocté une super vidéo très complète pour te parler de convexité, tu peux la retrouver juste en dessous.
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