Une asymptote est une droite que la fonction va longer.
Voici un exemple de ce que ça donne graphiquement:
Notre fonction, en vert, se rapproche de plus en plus de la droite en rouge jusqu'à la longer. Ainsi, on dit que la droite rouge est une asymptote horizontale à la courbe de la fonction en \( + \infty \) (car la fonction longe la droite rouge lorsqu'elle est de plus en plus "à droite" c'est-à-dire en \( + \infty \) ).
On vient de voir une asymptote horizontale (car la droite rouge était "à plat").
Il existe trois types d'asymptotes:
- Les asymptotes obliques, on ne peux les trouver qu'en \( - \infty \) ou \( + \infty \). Généralement, on va te demander de prouver que telle droite est une asymptote oblique d'une fonction. Si c'est une asymptote ça veut dire que la fonction la longe de très près, autrement dit la fonction et l'asymptote ont la même valeur donc il suffit de calculer la limite de ( la fonction - l'asymptote) en \( - \infty \) ou \( + \infty \) et si on obtient 0 alors c'est une asymptote oblique.
- Les asymptotes verticales: on ne les trouve que sur des valeurs interdites, autrement dit à toutes les bornes finies de notre ensemble de définition. Ici, le plus dur est donc de déterminer l'ensemble de définition de la fonction.
- Les asymptotes horizontales, on ne peux les trouver qu'en \( - \infty \) ou \( + \infty \). Pour les obtenir, on doit calculer la valeur de notre fonction en \( - \infty \) ou \( + \infty \) c'est-à-dire calculer la limite de notre fonction en \( - \infty \) ou \( + \infty \). Et si on obtient une limite qui est un nombre réel, alors il y a une asymptote horizontale. C'est sur ce type d'asymptote que l'on va s'attarder dans la suite.
On vient de dire que pour trouver une asymptote horizontale, il faut calculer la limite de notre fonction en \( - \infty \) ou \( + \infty \) et si on trouve une valeur réelle, alors on a une asymptote horizontale.
On va prendre un exemple, ce sera beaucoup plus parlant.
La fonction \(f\) définie par \(f(x) = e^{-0.5x-1}\) admet-elle une/des asymptote(s) horizontale(s)?
Pour répondre à cela, on va déjà calculer la limite de \(f\) en \( -\infty \).
\( \lim\limits_{-\infty}f(x) = \lim\limits_{-\infty} e^{-0.5x-1} \).
Or, il est évident que \( \lim\limits_{-\infty} -0.5x-1=+\infty \) et quand dans un exponentielle on met \( +\infty \), on sait que l'exponentielle tend vers \( +\infty \) donc \( \lim\limits_{-\infty}f(x) = +\infty \) qui n'est pas un réel donc il n'y a pas d'asymptote horizontale en \( -\infty \).
Voyons maintenant que donne la limite en \( +\infty \).
\( \lim\limits_{+\infty}f(x) = \lim\limits_{+\infty} e^{-0.5x-1} \).
Or, il est évident que \( \lim\limits_{+\infty} -0.5x-1=-\infty \) et quand dans un exponentielle on met \( -\infty \), on sait que l'exponentielle tend vers 0 donc \( \lim\limits_{+\infty}f(x) = 0 \) qui est un réel donc le fonction \(f\) admet bien une asymptote horizontale en \(+\infty \) et son équation est toujours de la forme y= la limite obtenue donc ici son équation sera \(y=0\).
Voici la représentation graphique de la fonction \(f\) et on se rend bien compte que "tout à droite", en \(+\infty\), la fonction (en vert) longe la droite d'équation \( y = 0\) (en rouge), elle la longe tellement que les deux sont confondues.
La fonction \( f \) définie par \( f(x) = \frac{2x^2-1}{3x^2+4}\) admet-elle une/des asymptote(s) horizontale(s)?
Je t'ai préparé la correction que tu peux visionner juste ici!
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